Задам дико стыдный вопрос. Я забыл математику. Почему объем конуса не равен площади треугольника на длину окружности основания? Площадь круга — радиусу на длину окружности? Я знаю, что это не так, но не могу объяснить дочке почему:(
Update: Объяснил вот так:
Крутить отрезок 2пи раз нельзя, потому что плотность точек у центра и у края круга будет разной. Правильно искать площадь круга через сумму длин концентрических окружностей от 0 до R. Если изобразить это в виде графика, выйдет треугольник площадью 2πR*R. С конусом подход тот же, но суммировать надо площади срезов конуса от нулевой площади основания.
Но в отличие от примера с площадью круга тут зависимость не линейная, а параболическая, и найти площадь сегмента параболы на пальцах уже не выйдет, нужно объяснять, что такое интеграл.
Приводим высоту конуса и радиус среза к одной переменной интеграла, и находим его, что нам и даёт объем конуса. Интеграл находим от второй степени, потому в знаменателе после вычисления интеграла тройка. Объяснять “на пальцах” почему так интегралы вычисляются от функций x^n — отдельная песня, лучше пока просто этому верить)
Being in America 